Posts Tagged ‘persamaan Laplace’

Penerapan Persamaan Poisson dan Laplace untuk menghitung potensial listrik

Posted: July 2, 2009 in Science & Technology
Tags: , , ,
1

I. Pendahuluan
Persamaan diferential partial adalah salah satu jenis persamaan diferensial yang melibatkan fungsi yang belum diketahui yang mengandung beberapa variabel.
Persamaan diferential parsial digunakan untuk memecahkan problem-problem físika seperti propagasi suara atau panas, elektrostatik, elektrodinamik, aliran fluida, elastisitas, dan potensial. Salah satu penerapan persamaan diferensial parsial adalah persamaan Poisson dan Laplace yang akan dibahas berikut ini.

II. Persamaan Laplace

Jika fungsi potensial dalam tata koordinat bola adalah , maka persamaan Laplace nya :

\nabla^2 {V}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial r}(\sin\theta\frac{\partial V}{\partial \theta})+\frac{1}{r^2sin^\theta}\frac{\partial^2 V}{\partial \phi^2}=0 (1)

\frac{1}{r^2R}\frac{\ d}{\ dr}(r^2\frac{\ dR}{\ dr})+\frac{1}{r^2P\sin\theta}\frac{\ d}{\ d\theta}(\sin\theta\frac{P}{\ d\theta})+\frac{1}{r^2Q\sin^2\theta}\frac{\ d^2Q}{\ d\phi^2}=0 (2)

Kalikan dengan r^2\sin^2\theta :
\frac{\sin^2\theta}{R}\frac{\ d}{\ dr}(r^2\frac{\ dR}{\ dr}+\frac{\sin\theta}{P}\frac{\ d}{\ d\theta}(\sin\theta\frac{\ dP}{\ d\theta})=-\frac{1}{Q}\frac{\ d^2Q}{\ d\phi^2} (3)

Ruas kiri bergantung terhadap r dan θ sedangkan ruas kanan bergantung hanya terhadap φ. Jika masing-masing ruas berharga m2, maka ruas kiri yang merupakan fungsi dapat ditulis menjadi :V(r,\theta)=R(r)P(\theta)
\frac{\sin^2\theta}{R}\frac{\ d}{\ dr}(r^2\frac{\ dR}{\ dr})+\frac {\sin\theta}{P\sin\theta}\frac{\ d}{\ d\theta}(\sin\theta}\frac{\ dP}{\ d\theta})=\frac{m^2}{{\sin^2\theta} (4)
Bagi kedua ruas dengan :\sin^2\theta
\frac{1}{R}\frac{\ d}{\ dr}(r^2\frac{\ dR}{\ dr})+\frac {1}{P\sin\theta}\frac{\ d}{\ \d\theta}(\sin\theta}\frac{\ dP}{\ d\theta}) (5)
\frac{1}{R}\frac{\ d}{\ dr}(r^2\frac{\ dR}{\ dr})=-\frac {1}{P\sin\theta}\frac{\ d}{\ d\theta}(\sin\theta}\frac{\ dP}{\ d\theta})+\frac{m^2}{\sin^2\theta} (6)
Ruas kiri yang baru bergantung pada r dan ruas kanan pada θ. Asumsi : harga ruas kiri & kanan = $latex l(l+1) . Maka :
1) Menentukan R(r)

Ruas kiri persamaan (6) menjadi :

\frac{1}{R}\frac{\ d}{\ dr}(r^2 \frac{\ dR}{\ dr})=l(l+1)
\frac{\ d}{\ dr}(r^2 \frac{\ dR}{\ dr})-l(l+1)=0
r^2\frac{\ d^2R}{\ dr^2}+2r\frac{\ dR}{\ dr}-l(l+1)R=0 (6a)
Solusi umum persamaan di atas diperoleh dengan cara :
Asumsi : $latex R=r^{m} , maka

R'=mr^{m-1}
R"=m(m-1)r^{m-2}

Masukkan masing-masing R, R’, dan R” ke dalam persamaan :

R1=r dan R2=
Solusi umum : (7)

2) Menentukan

Ruas kanan persamaan (6) menjadi :

Fungsi P(θ) dapat diubah menjadi P(x) dengan cara :

Sehingga :
atau

Suku pertama persamaan di atas diuraikan sehingga persamaan menjadi :

Untuk kasus simetri sumbu maka m=0 sehingga :

Solusi persamaan Legendre di atas berupa polynomial Legendre : sehingga solusi umum untuk persamaan Laplace dalam tata koordinat bola untuk kasus simetri sumbu adalah :
(9)
3) Menentukan

Ruas kanan persamaan (6 ) juga berharga m2, sehingga :
m = 0,1,2,…

Namun karena kasus ini diasumsikan simetri sumbu maka potensial hanya fungsi r dan θ seperti dinyatakan dalam persamaan (9).

Penerapan syarat batas :
Di dalam bola :
(10)

Di luar bola
rgen.

B

ρE.ρ=∇
0ε
E = medan listrik
ρ
ε0

Gambar 2. Muatan seragam

Medan listrik adalah adalah gaya listrik persatuan muatan. Medan vector dari potensial listrik. Potensial listrik adalah kemampuan untuk melakukan kerja yang ditimbulkan
engecil. VE−∇=
nsubstitukan
02Vερ−=∇= (14)

222V1Vsin1Vr1Vρ−=∂+⎟⎞⎜⎛∂θ∂+⎟⎞⎜⎛∂∂=∇

Perhitungan potensial listrik diasumsikan bahwa :
1. Muatan listrik hanya bervariasi dalam arah r, sedangkan pada arah θ dan Ф dianggap konstan.
2. Hanya dibatasi pada

Potensial listrik di luar bola ( r ≥ R )
Untuk daerah yang tidak dipengaruhi muatan listrik atau potensial listrik nol maka persamaan Laplace lah yang dipakai.
Jika

Persamaan (6a) dengan memakai asumsi 2 akan berbentuk :

Untuk menentukan solusi homogen :
Cara 1 :

Gambar 3. Persamaan Euler-Cauchy

Kalikan dengan r2 supaya berbentuk persamaan Euler-Cauchy :

a=2, b=0

Persamaan karakteristiknya :

Cara 2 : jika diamsusikan dan dengan m dan madalah akar-akar persamaan. Maka : 12

Sehingga ,
Maka potensial listrik V :

Potensial listrik nol dapat terletak sebarang di luar bola, sehingga pemilihan letak yang tak hingga bisa menjadi acuan. Harga c1 =0. Potensial listrik untuk bola bermuatan seragam di bernilai seperti potensial listrik untuk muatan titik, yaitu :

Gambar 4. Potensial listrik akibat muatan titik

Jika,

dan
Rumus Rodríguez
maka :
Untuk

Sehingga :

Atau dengan membalik batas atas menjadi batas bawah dan sebaliknya, menjadi :

Untuk

Sehingga :

Atau dengan membalik batas atas menjadi batas bawah dan sebaliknya, menjadi :

Untuk

dihitung melalui persamaan (11) :
adalah potensial listrik di luar bola
Potensial listrik di dalam bola

Karena V hanya bergantung terhadap r dan independent terhadap variabel θ dan Φ, maka persamaan Poisson di atas dapat diubah ke bentuk persamaan diferensial biasa orde 2 menjadi :

Solusi khusus diperoleh dengan cara :
$latex

$Solusi umumnya : V= VH+Vp
Untuk di dalam bola VH yang memenuhi syarat adalah c1 sehingga :

Syarat batas pada permukaan bola :
r = R ,

Q= muatan total , maka :

adalah potensial listrik di dalam bola bermuatan seragam